Matura rozszerzona maj 2018: matematyka

Dane są liczby: $a=\dfrac{\sqrt[4]{8}}{2}$, $b=\dfrac{1}{2\sqrt[4]{8}}$, $c=\sqrt[4]{8}$, $d=\dfrac{2}{\sqrt[4]{8}}$ oraz $k=2^{-\frac{1}{4}}$. Prawdziwa jest równość

Równanie $\left||x|-2\right|=|x|+2$

Wartość wyrażenia $2\log_{5}10-\dfrac{1}{\log_{20}5}$ jest równa

Granica $\lim\limits_{x\to 3^{-}}\dfrac{-x+2}{x^{2}-5x+6}$ jest równa

Punkt $A=(-5,3)$ jest środkiem symetrii wykresu funkcji homograficznej określonej wzorem $f(x)=\dfrac{ax+7}{x+d}$, gdy $x\neq -d$. Oblicz iloraz $\dfrac{d}{a}$. W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Styczna do paraboli o równaniu $y=\sqrt{3}x^{2}-1$ w punkcie $P=(x_{0},\, y_{0})$ jest nachylona do osi $Ox$ pod kątem $30^{\circ}$. Oblicz współrzędne punktu $P$.

Trójkąt $ABC$ jest ostrokątny oraz $|AC|>|BC|$. Dwusieczna $d_{C}$ kąta $ACB$ przecina bok $AB$ w punkcie $K$. Punkt $L$ jest obrazem punktu $K$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_{A}$ kąta $BAC$, punkt $M$ jest obrazem punktu $L$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_{C}$ kąta $ACB$, a punkt $N$ jest obrazem punktu $M$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_{B}$ kąta $ABC$ (zobacz rysunek).

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej $k$ i dla każdej liczby całkowitej $m$ liczba $k^{3}m-km^{3}$ jest podzielna przez 6.

Z liczb ośmioelementowego zbioru $Z=\{1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5,\, 6,\, 7,\, 9\}$ tworzymy ośmiowyrazowy ciąg, którego wyrazy się nie powtarzają. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Objętość stożka ściętego (przedstawionego na rysunku) można obliczyć ze wzoru $V=\dfrac{1}{3}\pi H\left(r^{2}+rR+R^{2}\right)$, gdzie $r$ i $R$ są promieniami podstaw ($r<R$), a $H$ jest wysokością bryły. Dany jest stożek ścięty, którego wysokość jest równa 10, objętość $840\pi$, a $r=6$. Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego tej bryły do jednej z jej podstaw.

Rozwiąż równanie $\sin 6x+\cos 3x=2\sin 3x+1$ w przedziale $\langle 0,\, \pi\rangle$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^{2}+(m+1)x-m^{2}+1=0$ ma dwa rozwiązania rzeczywiste $x_{1}$ i $x_{2}$ ($x_{1}\neq x_{2}$), spełniające warunek $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-7x_{1}x_{2}$.

Wyrazy ciągu geometrycznego $(a_{n})$, określonego dla $n\geq 1$, spełniają układ równań $$\begin{cases}a_{3}+a_{6}=-84\\ a_{4}+a_{7}=168\end{cases}$$ Wyznacz liczbę $n$ początkowych wyrazów tego ciągu, których suma $S_{n}$ jest równa 32769.

Punkt $A=(7,-1)$ jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Obie współrzędne wierzchołka $C$ są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt $ABC$ ma równanie $x^{2}+y^{2}=10$. Oblicz współrzędne wierzchołków $B$ i $C$ tego trójkąta.

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy $a$ i wysokości trapezu jest równa 2.

• [a)] Wyznacz wszystkie wartości $a$, dla których istnieje trapez o podanych własnościach.
• [b)] Wykaż, że obwód $L$ takiego trapezu, jako funkcja długości $a$ dłuższej podstawy trapezu, wyraża się wzorem $L(a)=\dfrac{4a^{2}-8a+8}{a}$.
• [c)] Oblicz tangens kąta ostrego tego spośród rozpatrywanych trapezów, którego obwód jest najmniejszy.