Matura rozszerzona maj 2015: matematyka

Na rysunku przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność $\left|2x-8\right|\le 10$.

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f\left(x\right)=\begin{cases}x-2 & \text{dla } x\le 0\\ \big|\left|x+3\right|-4\big| & \text{dla } x>0\end{cases}$

Równanie $f\left(x\right)=1$ ma dokładnie

Liczba $\left(3-2\sqrt{3}\right)^3$ jest równa

Równanie $2\sin x+3\cos x=6$ w przedziale $\left(0,2\pi\right)$

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu $y=2x+4$ jest równa

Oblicz granicę $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\dfrac{2n^2+2n+1}{5n^2-4}\right)$. W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Liczby $\left(-1\right)$ i $3$ są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $f$. Oblicz $\dfrac{f\left(6\right)}{f\left(12\right)}$.

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest nierówność $$x^4-x^2-2x+3>0.$$

Dwusieczne czworokąta $ABCD$ wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: $P$, $Q$, $R$, $S$ (zobacz rysunek).

Długości boków czworokąta $ABCD$ są równe: $\left|AB\right|=2$, $\left|BC\right|=3$, $\left|CD\right|=4$, $\left|DA\right|=5$. Na czworokącie $ABCD$ opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej $AC$ tego czworokąta.

W pierwszej urnie umieszczono 3 kule białe i 5 kul czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych i 2 kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej i dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co wylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe.

Funkcja $f$ określona jest wzorem $f\left(x\right)=x^3-2x^2+1$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji $f$, które są równoległe do prostej o równaniu $y=4x$.

Dany jest trójmian kwadratowy $f\left(x\right)=\left(m+1\right)x^2+2\left(m-2\right)x-m+4$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których trójmian $f$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1$, $x_2$, spełniające warunek $x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4$.

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$. Krawędź boczna $SD$ jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi $ABS$ i $CBS$ tego ostrosłupa.

Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu $W\left(x\right)=x^3+ax^2+bx+c$ jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3. Oblicz współczynniki $a$, $b$ i $c$. Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.