Matura rozszerzona maj 2014: matematyka

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f(x)=\dfrac{\left|x+3\right|+\left|x-3\right|}{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne 0$. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja kwadratowa $f(x)=x^2-(2m+2)x+2m+5$ ma dwa różne pierwiastki $x_1$, $x_2$ takie, że suma kwadratów odległości punktów $A=\left(x_1,\,0\right)$ i $B=\left(x_2,\,0\right)$ od prostej o równaniu $x+y+1=0$ jest równa $6$.

Rozwiąż równanie $\sqrt{3}\cdot\cos x=1+\sin x$ w przedziale $\left\langle 0,\,2\pi\right\rangle$.

Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych dodatnich $x$, $y$ prawdziwa jest nierówność $\left(x+1\right)\dfrac{x}{y}+\left(y+1\right)\dfrac{y}{x}>2$.

Dane są trzy okręgi o środkach $A$, $B$, $C$ i promieniach równych odpowiednio $r$, $2r$, $3r$. Każde dwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie $K$, drugi z trzecim w punkcie $L$ i trzeci z pierwszym w punkcie $M$. Oblicz stosunek pola trójkąta $KLM$ do pola trójkąta $ABC$.

Trójkąt $ABC$ jest wpisany w okrąg o środku $S$. Kąty wewnętrzne $CAB$, $ABC$ i $BCA$ tego trójkąta są równe, odpowiednio, $\alpha$, $2\alpha$ i $4\alpha$. Wykaż, że trójkąt $ABC$ jest rozwartokątny, i udowodnij, że miary wypukłych kątów środkowych $ASB$, $ASC$ i $BSC$ tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.

Ciąg geometryczny $\left(a_n\right)$ ma $100$ wyrazów i są one liczbami dodatnimi. Suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych jest sto razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych oraz $\log a_1+\log a_2+\log a_3+\ldots+\log a_{100}=100$. Oblicz $a_1$.

Punkty $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego, przy czym $A=\left(0,\,2\sqrt{3}\right)$, $B=\left(2,\,0\right)$, a $C$ leży na osi $Ox$. Wyznacz równanie stycznej do okręgu opisanego na tym sześciokącie przechodzącej przez wierzchołek $E$.

Oblicz objętość ostrosłupa trójkątnego $ABCS$, którego siatkę przedstawiono na rysunku.

Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru $m$, dla których równanie $\left(x^3+2x^2+2x+1\right)\left[x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+m\right]=0$ ma trzy, parami różne, pierwiastki rzeczywiste, takie że jeden z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych.

Z urny zawierającej $10$ kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od $1$ do $10$ losujemy jednocześnie trzy kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że numer jednej z wylosowanych kul jest równy sumie numerów dwóch pozostałych kul.