Matura rozszerzona maj 2013: matematyka

Rozwiąż nierówność $\left|2x-5\right|-\left|x+4\right|\le 2-2x$.

Trapez równoramienny $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ jest opisany na okręgu o promieniu $r$. Wykaż, że $4r^2=\left|AB\right|\cdot\left|CD\right|$.

Oblicz, ile jest liczb naturalnych sześciocyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie trzy razy cyfra $0$ i dokładnie raz występuje cyfra $5$.

Rozwiąż równanie $\cos 2x+\cos x+1=0$ dla $x\in\left\langle 0,\,2\pi\right\rangle$.

Ciąg liczbowy $\left(a,\,b,\,c\right)$ jest arytmetyczny i $a+b+c=33$, natomiast ciąg $\left(a-1,\,b+5,\,c+19\right)$ jest geometryczny. Oblicz $a$, $b$, $c$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2+2\left(1-m\right)x+m^2-m=0$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$, $x_2$ spełniające warunek $x_1\cdot x_2\le 6m\le x_1^2+x_2^2$.

Prosta o równaniu $3x-4y-36=0$ przecina okrąg o środku $S=\left(3,12\right)$ w punktach $A$ i $B$. Długość odcinka $AB$ jest równa $40$. Wyznacz równanie tego okręgu.

Reszta z dzielenia wielomianu $W\left(x\right)=4x^3-5x^2-23x+m$ przez dwumian $x+1$ jest równa $20$. Oblicz wartość współczynnika $m$ oraz pierwiastki tego wielomianu.

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $\left|AC\right|=17$ i $\left|BC\right|=10$. Na boku $AB$ leży punkt $D$ taki, że $\left|AD\right|:\left|DB\right|=3:4$ oraz $\left|DC\right|=10$. Oblicz pole trójkąta $ABC$.

W ostrosłupie $ABCS$ podstawa $ABC$ jest trójkątem równobocznym o boku długości $a$. Krawędź $AS$ jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Odległość wierzchołka $A$ od ściany $BCS$ jest równa $d$. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

Rzucamy cztery razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb oczek otrzymanych we wszystkich czterech rzutach będzie równy $60$.

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji logarytmicznej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=\log_2\left(x-p\right)$.

• [a)] Podaj wartość $p$.
• [b)] Narysuj wykres funkcji określonej wzorem $y=\left|f\left(x\right)\right|$.
• [c)] Podaj wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $\left|f\left(x\right)\right|=m$ ma dwa rozwiązania o przeciwnych znakach.