Matura rozszerzona maj 2012: matematyka

Wyznacz cztery kolejne liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa sumie kwadratów trzech pozostałych liczb.

Rozwiąż nierówność $x^4+x^2\ge 2x$.

Rozwiąż równanie $\cos 2x+2=3\cos x$.

Oblicz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2-\left(m+2\right)x+m+4=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1,\, x_2$ takie, że $x_1^4+x_2^4=4m^3+6m^2-32m+12$.

Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy 8, to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny. Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy 64, to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny. Znajdź te liczby. Uwzględnij wszystkie możliwości.

W układzie współrzędnych rozważmy wszystkie punkty $P$ postaci: $P=\left(\dfrac{1}{2}m+\dfrac{5}{2},\ m\right)$, gdzie $m\in\langle -1,\, 7\rangle$. Oblicz najmniejszą i największą wartość $\left|PQ\right|^2$, gdzie $Q=\left(\dfrac{55}{2},\, 0\right)$.

Udowodnij, że jeżeli $a+b\ge 0$, to prawdziwa jest nierówność $a^3+b^3\ge a^2b+ab^2$.

Oblicz, ile jest liczb naturalnych ośmiocyfrowych takich, że iloczyn cyfr w ich zapisie dziesiętnym jest równy 12.

Dany jest prostokąt $ABCD$, w którym $\left|AB\right|=a$, $\left|BC\right|=b$ i $a>b$. Odcinek $AE$ jest wysokością trójkąta $DAB$ opuszczoną na jego bok $BD$. Wyraź pole trójkąta $AED$ za pomocą $a$ i $b$.

Podstawą ostrosłupa $ABCS$ jest trójkąt równoramienny $ABC$. Krawędź $AS$ jest wysokością ostrosłupa oraz $\left|AS\right|=8\sqrt{210}$, $\left|BS\right|=118$, $\left|CS\right|=131$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zdarzenia losowe $A$, $B$ są zawarte w $\Omega$ oraz $P\left(A\cap B'\right)=0{,}7$ ($A'$ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia $A$, $B'$ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia $B$). Wykaż, że $P\left(A'\cap B\right)\le 0{,}3$.