Matura rozszerzona maj 2011: matematyka

Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej $k$ liczba $k^6-2k^4+k^2$ jest podzielna przez 36.

Uzasadnij, że jeżeli $a\ne b$, $a\ne c$, $b\ne c$ i $a+b=2c$, to $\dfrac{a}{a-c}+\dfrac{b}{b-c}=2$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2-4mx-m^3+6m^2+m-2=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1$, $x_2$ takie, że $(x_1-x_2)^2<8(m+1)$.

Rozwiąż równanie $2\sin^2 x-2\sin^2 x\cos x=1-\cos x$ w przedziale $\langle 0,2\pi\rangle$.

O ciągu $(x_n)$ dla $n\ge 1$ wiadomo, że:

a) ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n=3^{x_n}$ dla $n\ge 1$ jest geometryczny o ilorazie $q=27$.

b) $x_1+x_2+\ldots+x_{10}=145$.

Oblicz $x_1$.

Podstawa $AB$ trójkąta równoramiennego $ABC$ ma długość 8 oraz $|\sphericalangle BAC|=30^{\circ}$. Oblicz długość środkowej $AD$ tego trójkąta.

Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu $x^2+y^2+2x-2y-3=0$ poprowadzonymi przez punkt $A=(2,0)$.

Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 24, jest taki, który ma największe pole powierzchni bocznej. Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

Oblicz, ile jest liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, natomiast występują dwie dwójki i występują trzy trójki.

Dany jest czworokąt wypukły $ABCD$ niebędący równoległobokiem. Punkty $M$, $N$ są odpowiednio środkami boków $AB$ i $CD$. Punkty $P$, $Q$ są odpowiednio środkami przekątnych $AC$ i $BD$. Uzasadnij, że $MQ\parallel PN$.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ o podstawie $ABCD$. W trójkącie równoramiennym $ASC$ stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy $|AC|:|AS|=6:5$. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

$A$, $B$ są zdarzeniami losowymi zawartymi w $\Omega$. Wykaż, że jeżeli $P(A)=0{,}9$ i $P(B)=0{,}7$, to $P(A\cap B')\le 0{,}3$ ($B'$ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia $B$).