Matura rozszerzona maj 2010: matematyka

Rozwiąż nierówność $|2x+4|+|x-1|\le 6$.

Wyznacz wszystkie rozwiązania równania $2\cos^2 x-5\sin x-4=0$ należące do przedziału $\langle 0,\, 2\pi\rangle$.

Bok kwadratu $ABCD$ ma długość 1. Na bokach $BC$ i $CD$ wybrano odpowiednio punkty $E$ i $F$ umieszczone tak, by $|CE|=2|DF|$. Oblicz wartość $x=|DF|$, dla której pole trójkąta $AEF$ jest najmniejsze.

Wyznacz wartości $a$ i $b$ współczynników wielomianu $W(x)=x^3+ax^2+bx+1$ wiedząc, że $W(2)=7$ oraz, że reszta z dzielenia $W(x)$ przez $(x-3)$ jest równa 10.

O liczbach $a$, $b$, $c$ wiemy, że ciąg $(a,\, b,\, c)$ jest arytmetyczny i $a+c=10$, zaś ciąg $(a+1,\, b+4,\, c+19)$ jest geometryczny. Wyznacz te liczby.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2+mx+2=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od $2m^2-13$.

Punkt $A=(-2,5)$ jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok $BC$ jest zawarty w prostej o równaniu $y=x+1$. Oblicz współrzędne wierzchołka $C$.

Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$. Przeprowadzono prostą równoległą do osi $Ox$, która przecięła wykres tej funkcji w punktach $A$ i $B$. Niech $C=(3,-1)$. Wykaż, że pole trójkąta $ABC$ jest większe lub równe 2.

Na bokach $BC$ i $CD$ równoległoboku $ABCD$ zbudowano kwadraty $CDEF$ i $BCGH$ (zobacz rysunek). Udowodnij, że $|AC|=|FG|$.

Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma kwadratów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna przez 3.

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość $a$. Ściany boczne są trójkątami ostrokątnymi. Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa $2\alpha$. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.