Matura rozszerzona czerwiec 2015 (termin dodatkowy): matematyka

Ciąg $\left(a_n\right)$ jest określony wzorem $a_{n+1}=a_n+n-6$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy $a_3=-1$. Wyraz $a_2$ jest równy

Liczba punktów wspólnych wykresów funkcji $y=-x+1$ i $y=\log_2 x$ jest równa

Która z poniższych funkcji, określonych w zbiorze liczb rzeczywistych, nie ma minimum lokalnego ani maksimum lokalnego?

Dla dowolnego kąta $\alpha$ wartość wyrażenia $\sin\alpha+\sin\left(180^{\circ}-\alpha\right)$ jest równa wartości wyrażenia

Zbiór $K$ -- to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$, dla których wartość liczbowa wyrażenia $\sqrt{x\left(x^2-9\right)}$ jest liczbą rzeczywistą. Zatem

Wyznacz największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność $\left|x\right|<\left|x-1025\right|$. W poniższe kratki wpisz -- kolejno -- cyfrę setek, cyfrę dziesiątek i cyfrę jedności otrzymanego wyniku.

Prosta o równaniu $y=\dfrac{3}{4}x-\dfrac{61}{14}$ jest styczna od okręgu o środku $S=\left(1,-4\right)$. Wyznacz promień tego okręgu.

Niech $a=\log_{12}2$. Wykaż, że $\log_6 64=\dfrac{6a}{1-a}$.

W trójkącie $ABC$ kąt wewnętrzny przy wierzchołku $A$ ma miarę $50^{\circ}$, a kąt wewnętrzny przy wierzchołku $C$ ma miarę $60^{\circ}$. Okrąg $o_1$ przechodzi przez punkt $A$ i przecina boki $AB$ i $AC$ trójkąta odpowiednio w punktach $D$ i $E$. Okrąg $o_2$ przechodzi przez punkt $B$, przecina okrąg $o_1$ w punkcie $D$ oraz w punkcie $F$ leżącym wewnątrz trójkąta $ABC$. Ponadto okrąg $o_2$ przecina bok $BC$ trójkąta w punkcie $G$.

Rozwiąż równanie $\left(4\sin^2 x-1\right)\cdot\sin x=\cos^2 x-3\sin^2 x$, dla $x\in\left(-\pi,0\right)$.

W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 i 20 wpisano okrąg. Oblicz długość odcinka łączącego wierzchołek kąta prostego tego trójkąta z punktem wspólnym okręgu i przeciwprostokątnej.

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $\left|BC\right|=a$. Z wierzchołka $B$ poprowadzono środkową $BD$ do boku $AC$. Punkt $S$ jest środkiem odcinka $BD$. Przez punkty $A$ i $S$ poprowadzono prostą, która przecięła bok $BC$ w punkcie $P$. Wykaż, że długość odcinka $CP$ jest równa $\dfrac{2}{3}a$.

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych, w których zapisie występują co najwyżej dwie dwójki.

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest trapez $ABCD$. Przekątna $AC$ tego trapezu ma długość $8\sqrt{3}$, jest prostopadła do ramienia $BC$ i tworzy z dłuższą podstawą $AB$ tego trapezu kąt o mierze $30^{\circ}$. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość $4\sqrt{5}$. Oblicz odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od jego krawędzi bocznej $SD$.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f\left(x\right)=\dfrac{m^2+m-6}{m-5}\,x^2-\left(m-2\right)x+m-5$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wyznacz całkowite wartości parametru $m$, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.

Rozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma długości tworzącej i promienia podstawy jest równa 2. Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.