Matura rozszerzona czerwiec 2014 (termin dodatkowy): matematyka

Rozwiąż nierówność $$|x+6|-2\,|x-4|\le 2x-3$$

W czworokąt $ABCD$, w którym $|AD|=5\sqrt{3}$ i $|CD|=6$, można wpisać okrąg. Przekątna $BD$ tworzy z bokiem $AB$ czworokąta kąt o mierze $60^{\circ}$, natomiast z bokiem $AD$ tworzy kąt, którego sinus jest równy $\frac{3}{4}$. Wyznacz długości boków $AB$ i $BC$ oraz długość przekątnej $BD$ tego czworokąta.

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $$x(x-1)+y(y-1)\ge xy-1.$$

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Rozwiąż nierówność $-2\sin 3x\ge 1$ w przedziale $\langle 0,2\pi\rangle$.

Na przyprostokątnych $AC$ i $BC$ trójkąta prostokątnego $ABC$ zbudowano, na zewnątrz trójkąta, kwadraty $ACDE$ i $BFGC$. Odcinek $AF$ przecina przyprostokątną $BC$ w punkcie $L$, a odcinek $BE$ przecina przyprostokątną $AC$ w punkcie $K$ (zobacz rysunek). Udowodnij, że $|KC|=|LC|$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^{2}+(2m-5)x+2m+3=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_{1}$, $x_{2}$ takie, że $$\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}\ge x_{1}^{2}\cdot x_{2}^{2}\ge x_{1}^{2}+x_{2}^{2}.$$

Odcinek $AB$ o długości 4 jest zawarty w prostej o równaniu $y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{2}$. Symetralna odcinka $AB$ przecina oś $Oy$ w punkcie $P=(0,6)$. Oblicz współrzędne końców odcinka $AB$.

Trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, którego iloraz jest różny od 1. Jeżeli weźmiemy kolejno drugą z nich, pierwszą i trzecią, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Jeżeli pierwszy wyraz tego ciągu arytmetycznego zmniejszymy o 7, drugi pozostawimy bez zmian, a trzeci zwiększymy o 3, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz te liczby.

Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)=6x^{3}+(m+4)x^{2}-2x-1$ przez dwumian $x-m$ jest równa 8. Oblicz wartość $m$ oraz pierwiastki tego wielomianu.

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat $ABCD$ o boku długości 25. Ściany boczne $ABS$ i $BCS$ mają takie same pola, każde równe 250. Ściany boczne $ADS$ i $CDS$ też mają jednakowe pola, każde równe $187{,}5$. Krawędzie boczne $AS$ i $CS$ mają równe długości. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

W urnie jest dziesięć kul: 4 białe, 3 czarne, 2 zielone i 1 niebieska. Losujemy jednocześnie trzy kule z urny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród wylosowanych kul nie ma kul w tym samym kolorze. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.