Matura rozszerzona czerwiec 2013 (termin dodatkowy): matematyka

Rozwiąż nierówność $$\sqrt{x^{2}+4x+4}\geq 11-\sqrt{x^{2}-6x+9}$$

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $(m+1)x^{2}-3mx+m+1=0$ ma dwa różne pierwiastki takie, że ich suma jest nie większa niż $2{,}5$.

Rozwiąż równanie $2\,\mathrm{tg}\,x\cdot\cos x+1=2\cos x+\mathrm{tg}\,x$ w przedziale $\left\langle 0,\,2\pi\right\rangle$.

Wykaż, że prawdziwa jest równość $\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=3$.

Uzasadnij, że jeżeli $2a+b\geq 0$, to $2a^{3}+b^{3}\geq 3a^{2}b$.

W równoległoboku $ABCD$ miara kąta ostrego jest równa $30^{\circ}$, a odległości punktu przecięcia się przekątnych od sąsiednich boków równoległoboku są równe $2$ i $\sqrt{3}$. Oblicz długość krótszej przekątnej tego równoległoboku.

Punkty $A=(2,0)$ i $B=(4,2)$ leżą na okręgu o równaniu $(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=10$. Wyznacz na tym okręgu taki punkt $C$, aby trójkąt $ABC$ był trójkątem równoramiennym o podstawie $AB$.

Wykaż, że dla dowolnego kąta $\alpha$ prawdziwa jest tożsamość $\sin^{4}\alpha+\cos^{4}\alpha=\dfrac{1+\cos^{2}2\alpha}{2}$.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego $ABCS$ jest trójkąt $ABC$. Kąt nachylenia krawędzi bocznej $AS$ do płaszczyzny podstawy ostrosłupa jest równy kątowi między krawędziami bocznymi $AS$ i $BS$ zawartymi w ścianie bocznej $ASB$ tego ostrosłupa (zob. rysunek). Oblicz kosinus tego kąta.

Liczby $a_{1}$, $a_{2}$, ..., $a_{n}$ są dodatnie i w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Uzasadnij, że prawdziwa jest równość $\sqrt[n]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot\ldots\cdot a_{n}}=\sqrt{a_{1}\cdot a_{n}}$.

Suma długości dwóch boków trójkąta równa się $4$, a kąt między tymi bokami ma miarę $120^{\circ}$. Oblicz najmniejszą wartość sumy kwadratów długości wszystkich boków tego trójkąta.

Pierwiastkami wielomianu stopnia trzeciego są liczby $1$, $3$, $5$. Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej tego wielomianu jest równy $\dfrac{1}{2}$. Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej wartość tego wielomianu jest liczbą podzielną przez $24$.