Matura rozszerzona czerwiec 2012 (termin dodatkowy): matematyka

Rozwiąż nierówność $\left|x-2\right|+\left|x+1\right|\ge 3x-3$.

Wielomian $W\left(x\right)=x^4+ax^3+bx^2-24x+9$ jest kwadratem wielomianu $P\left(x\right)=x^2+cx+d$. Oblicz $a$ oraz $b$.

Kąt $\alpha$ jest taki, że $\cos\alpha+\sin\alpha=\dfrac{4}{3}$. Oblicz wartość wyrażenia $\left|\cos\alpha-\sin\alpha\right|$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $2x^2+\left(3-2m\right)x-m+1=0$ ma dwa różne pierwiastki $x_1$, $x_2$ takie, że $\left|x_1-x_2\right|=3$.

W ciągu arytmetycznym $\left(a_n\right)$, dla $n\ge 1$, dane są $a_1=-2$ oraz różnica $r=3$. Oblicz największe $n$ takie, że $a_1+a_2+\ldots+a_n<2012$.

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$, $b$, $c$ i $d$ prawdziwa jest nierówność $ac+bd\le\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{c^2+d^2}$.

Okrąg jest styczny do osi układu współrzędnych w punktach $A=\left(0,\, 2\right)$ i $B=\left(2,\, 0\right)$ oraz jest styczny do prostej $l$ w punkcie $C=\left(1,\, a\right)$, gdzie $a>1$. Wyznacz równanie prostej $l$.

W czworokącie $ABCD$ dane są długości boków: $\left|AB\right|=24$, $\left|CD\right|=15$, $\left|AD\right|=7$. Ponadto kąty $DAB$ oraz $BCD$ są proste. Oblicz pole tego czworokąta oraz długości jego przekątnych.

Oblicz, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 6 lub podzielnych przez 15.

Na płaszczyźnie dane są punkty $A=\left(3,\, -2\right)$ i $B=\left(11,\, 4\right)$. Na prostej o równaniu $y=8x+10$ znajdź punkt $P$, dla którego suma $\left|AP\right|^2+\left|BP\right|^2$ jest najmniejsza.

Podstawą ostrosłupa $ABCS$ jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $\left|AB\right|=30$, $\left|BC\right|=\left|AC\right|=39$ i spodek wysokości ostrosłupa należy do jego podstawy. Każda wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka $S$ ma długość 26. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zdarzenia losowe $A$, $B$ są zawarte w $\Omega$ oraz $P\left(A\cap B'\right)=0{,}1$ i $P\left(A'\cap B\right)=0{,}2$. Wykaż, że $P\left(A\cap B\right)\le 0{,}7$ ($A'$ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia $A$, $B'$ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia $B$).