Matura rozszerzona czerwiec 2011 (termin dodatkowy): matematyka

Rozwiąż nierówność $\left|2x-4\right|+\left|x-5\right|\ge 12$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $2x^2-\left(m-2\right)x-3m=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1$, $x_2$, spełniające warunek $x_1^2+x_2^2-2x_1x_2\le 25$.

Ciąg $\left(a,\, b,\, c\right)$ jest geometryczny. Ciąg $\left(3a+3,\ 2b,\ c-12\right)$ jest arytmetyczny i suma jego dwóch pierwszych wyrazów jest równa trzeciemu. Oblicz $a$, $b$, $c$.

Rozwiąż równanie $6\sin^2 x+7\cos x-1=0$ dla $x\in\langle 0,\, 2\pi\rangle$.

Dany jest trójkąt ostrokątny $ABC$ o bokach długości $a$, $b$, $c$ i kątach $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ (zobacz rysunek). Wykaż, że $\dfrac{b^2+c^2-a^2}{a^2+c^2-b^2}=\dfrac{\mathrm{tg}\,\beta}{\mathrm{tg}\,\alpha}$.

Wykaż, że nie istnieje wielomian $W\left(x\right)$ stopnia trzeciego o współczynnikach całkowitych, który spełnia warunki: $W\left(2\right)=3$ i $W\left(-2\right)=2$.

Dany jest trójkąt ostrokątny $ABC$, w którym $\left|AC\right|=5$ i $\left|AB\right|=8$. Pole tego trójkąta jest równe $10\sqrt{3}$. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Punkty $A=\left(-5,\, 5\right)$, $C=\left(8,\, 6\right)$ są przeciwległymi wierzchołkami trapezu równoramiennego $ABCD$, w którym $AB\parallel CD$. Prosta o równaniu $y=2x$ jest osią symetrii tego trapezu. Oblicz współrzędne wierzchołków $B$ i $D$ oraz pole tego trapezu.

Przekątne trapezu $ABCD$ przecinają się w punkcie $P$. Prosta równoległa do podstaw trapezu, przechodząca przez punkt $P$, przecina ramiona $AD$ i $BC$ odpowiednio w punktach $M$ i $N$. Wykaż, że $\left|MP\right|=\left|NP\right|$.

Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku równym 2. Na bokach $BC$ i $CD$ wybrano odpowiednio punkty $E$ i $F$, różne od wierzchołków kwadratu, takie że $\left|CE\right|=\left|DF\right|=x$. Oblicz wartość $x$, dla której pole trójkąta $AEF$ jest najmniejsze i oblicz to pole.

Spośród wszystkich liczb czterocyfrowych o cyfrach ze zbioru $\left\{1,\, 2,\, 3\right\}$ losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wszystkich cyfr wylosowanej liczby jest równa 7.

W ostrosłupie trójkątnym $ABCS$ o podstawie $ABC$ i wierzchołku $S$ dane są: $\left|AB\right|=\left|AC\right|=\left|SB\right|=\left|SC\right|=9$ i $\left|AS\right|=\left|BC\right|=8$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.