Matura rozszerzona czerwiec 2016 (termin dodatkowy): matematyka

Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x)=\left|3+5^{3-x}\right|-1$ dla każdej liczby rzeczywistej. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest

Wartość wyrażenia $\sin^{2}75^{\circ}-\cos^{2}75^{\circ}$ jest równa

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ dane są: $\left|AD\right|=6$, $\left|BC\right|=12$, $\left|AC\right|=10$ oraz $\left|\sphericalangle ABC\right|=\left|\sphericalangle CAD\right|$ (zobacz rysunek).

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wszystkie krawędzie mają jednakową długość. Wynika stąd, że cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy

Granica $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{-7n^{3}+3n}{1+2n+3n^{2}+4n^{5}}$ jest równa

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $\left(a_{n}\right)$ określony dla $n\geq 1$, w którym iloraz jest równy pierwszemu wyrazowi, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 12. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Zakoduj kolejno pierwsze trzy cyfry po przecinku otrzymanego wyniku.

Dane są zdarzenia losowe $A,B\subset\Omega$ takie, że $P(A)=\dfrac{2}{7}$ i $P(A\cup B)=\dfrac{3}{5}$. Oblicz $P(B\setminus A)$, gdzie zdarzenie $B\setminus A$ oznacza różnicę zdarzeń $B$ i $A$. Zakoduj kolejno pierwsze trzy cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Wykaż, że dla $a,b,c,d>0$ prawdziwa jest nierówność $\sqrt{a+b}\cdot\sqrt{c+d}\geq\sqrt{ac}+\sqrt{bd}$.

Rozwiąż nierówność $\left|x^{2}-3x+2\right|\geq\left|x-1\right|$.

Dany jest ciąg $\left(a_{n}\right)$ określony dla każdej liczby całkowitej $n\geq 1$, w którym $a_{4}=4$ oraz dla każdej liczby $n\geq 1$ prawdziwa jest równość $a_{n+1}=a_{n}+n-4$. Oblicz pierwszy wyraz ciągu $\left(a_{n}\right)$ i ustal, czy ciąg ten jest malejący.

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$. Przez wierzchołki $A$ i $C$ oraz środek $K$ krawędzi $BF$ poprowadzono płaszczyznę, która przecina przekątną $BH$ w punkcie $P$ (zobacz rysunek).

Liczba $m$ jest sumą odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Rozwiąż nierówność $\left(2\sin x-3\right)\left(2\sin x+1\right)>0$ w przedziale $x\in(0,2\pi)$.

W trójkącie prostokątnym stosunek różnicy długości przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest równy $\dfrac{1}{2}$. Oblicz cosinusy kątów ostrych tego trójkąta.

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie trzy cyfry nieparzyste.

Punkty $A=(-7,-2)$ i $B=(4,-7)$ są wierzchołkami podstawy trójkąta równoramiennego $ABC$, a wysokość opuszczona z wierzchołka $A$ tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu $2x+19y+52=0$. Oblicz współrzędne wierzchołka $C$.

Rozpatrujemy wszystkie walce, których pole powierzchni całkowitej jest równe $2\pi$. Oblicz promień podstawy tego walca, który ma największą objętość. Podaj tę największą objętość.