Matura rozszerzona czerwiec 2017 (termin dodatkowy): matematyka

Równanie $\left||x-4|-2\right|=2$ ma dokładnie

Liczba $\log_{4}25+\log_{2}10$ jest równa

Punkt $P'=(3,-3)$ jest obrazem punktu $P=(1,3)$ w jednokładności o środku w punkcie $S=(-2,12)$. Skala tej jednokładności jest równa

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{x}{2x-8}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 4$. Wówczas pochodna tej funkcji dla argumentu $x=\sqrt{2}+4$ jest równa

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym iloraz jest trzy razy większy od pierwszego wyrazu, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $\dfrac{1}{4}$. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Funkcja kwadratowa $f(x)=-x^{2}+bx+c$ ma dwa miejsca zerowe: $x_{1}=-1$ i $x_{2}=12$. Oblicz największą wartość tej funkcji. Zakoduj kolejno, od lewej do prawej, cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $$5x^{2}+y^{2}-4xy+6x+9\geq 0.$$

Miary kątów trójkąta $ABC$ są równe $\alpha=|\sphericalangle BAC|$, $\beta=|\sphericalangle ABC|$ i $\gamma=|\sphericalangle ACB|$. Punkt $S$ jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, a proste zawierające odcinki $AS$ i $BS$ przecinają boki $BC$ i $AC$ tego trójkąta w punktach odpowiednio $D$ i $E$ (zobacz rysunek).

Z cyfr 0, 1, 2 tworzymy pięciocyfrowe liczby całkowite dodatnie podzielne przez 15. Oblicz, ile możemy utworzyć takich liczb.

Ciąg $(a_{n})$ jest arytmetyczny, a ciąg $(b_{n})$ jest geometryczny. Pierwszy wyraz $a_{1}$ ciągu arytmetycznego jest ilorazem ciągu geometrycznego $(b_{n})$. Wyrazy ciągu $(a_{n})$ są liczbami całkowitymi, a suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 124. Natomiast pierwszy wyraz $b_{1}$ ciągu geometrycznego jest różnicą ciągu arytmetycznego $(a_{n})$. Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego $(b_{n})$ jest równa 18. Wyznacz te ciągi.

Rozwiąż równanie $3\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)+\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=1$ w przedziale $\langle 0,\, 2\pi\rangle$.

Prosta $l$, na której leży punkt $P=(8,2)$, tworzy z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt prostokątny o polu równym 36. Wyznacz równanie prostej $l$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^{2}-3mx+2m^{2}+1=0$ ma dwa różne rozwiązania takie, że każde należy do przedziału $(-\infty,\, 3)$.

Trapez równoramienny $ABCD$ o ramieniu długości 6 wpisany jest w okrąg, przy czym dłuższa podstawa $AB$ trapezu, o długości 12, jest średnicą tego okręgu. Przekątne $AC$ i $BD$ trapezu przecinają się w punkcie $P$. Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt $ABP$.

Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany o objętości 8, których stosunek długości dwóch krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka jest równy $1:2$ oraz suma długości wszystkich dwunastu krawędzi jest mniejsza od 28. Wyznacz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcję długości jednej z jego krawędzi. Wyznacz dziedzinę tej funkcji. Oblicz wymiary tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.