Matura maj 2009: matematyka, poziom podstawowy

Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x)=\begin{cases}2x-3 & \text{dla } x<2\\ \;\;\,1 & \text{dla } 2\leq x\leq4\end{cases}$

• [a)] Uzupełnij tabelę:
  

  $x$	$-3$	$3$
  $f(x)$			$0$

• [b)] Narysuj wykres funkcji $f$.
• [c)] Podaj wszystkie liczby całkowite $x$, spełniające nierówność $f(x)\geq-6$.

Dwaj rzemieślnicy przyjęli zlecenie wykonania wspólnie 980 detali. Zaplanowali, że każdego dnia pierwszy z nich wykona $m$, a drugi $n$ detali. Obliczyli, że razem wykonają zlecenie w ciągu 7 dni. Po pierwszym dniu pracy pierwszy z rzemieślników rozchorował się i wtedy drugi, aby wykonać całe zlecenie, musiał pracować o 8 dni dłużej niż planował (nie zmieniając liczby wykonywanych codziennie detali). Oblicz $m$ i $n$.

Wykres funkcji $f$ danej wzorem $f(x)=-2x^{2}$ przesunięto wzdłuż osi $Ox$ o 3 jednostki w prawo oraz wzdłuż osi $Oy$ o 8 jednostek w górę, otrzymując wykres funkcji $g$.

• [a)] Rozwiąż nierówność $f(x)+5<3x$.
• [b)] Podaj zbiór wartości funkcji $g$.
• [c)] Funkcja $g$ określona jest wzorem $g(x)=-2x^{2}+bx+c$. Oblicz $b$ i $c$.

Wykaż, że liczba $3^{54}$ jest rozwiązaniem równania $243^{11}-81^{14}+7x=9^{27}$.

Wielomian $W$ dany jest wzorem $W(x)=x^{3}+ax^{2}-4x+b$.

• [a)] Wyznacz $a$, $b$ oraz $c$ tak, aby wielomian $W$ był równy wielomianowi $P$, gdy $P(x)=x^{3}+\left(2a+3\right)x^{2}+\left(a+b+c\right)x-1$.
• [b)] Dla $a=3$ i $b=0$ zapisz wielomian $W$ w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.

Miara jednego z kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa $\alpha$.

• [a)] Uzasadnij, że spełniona jest nierówność $\sin\alpha-\operatorname{tg}\alpha<0$.
• [b)] Dla $\sin\alpha=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ oblicz wartość wyrażenia $\cos^{3}\alpha+\cos\alpha\cdot\sin^{2}\alpha$.

Dany jest ciąg arytmetyczny $\left(a_{n}\right)$ dla $n\geq1$, w którym $a_{7}=1$, $a_{11}=9$.

• [a)] Oblicz pierwszy wyraz $a_{1}$ i różnicę $r$ ciągu $\left(a_{n}\right)$.
• [b)] Sprawdź, czy ciąg $\left(a_{7},a_{8},a_{11}\right)$ jest geometryczny.
• [c)] Wyznacz takie $n$, aby suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $\left(a_{n}\right)$ miała wartość najmniejszą.

W trapezie $ABCD$ długość podstawy $CD$ jest równa 18, a długości ramion trapezu $AD$ i $BC$ są odpowiednio równe 25 i 15. Kąty $ADB$ i $DCB$, zaznaczone na rysunku, mają równe miary. Oblicz obwód tego trapezu.

Punkty $B=(0,10)$ i $O=(0,0)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego $OAB$, w którym $|\angle OAB|=90^{\circ}$. Przyprostokątna $OA$ zawiera się w prostej o równaniu $y=\dfrac{1}{2}x$. Oblicz współrzędne punktu $A$ i długość przyprostokątnej $OA$.

Tabela przedstawia wyniki części teoretycznej egzaminu na prawo jazdy. Zdający uzyskał wynik pozytywny, jeżeli popełnił co najwyżej dwa błędy.

• [a)] Oblicz średnią arytmetyczną liczby błędów popełnionych przez zdających ten egzamin. Wynik podaj w zaokrągleniu do całości.
• [b)] Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród dwóch losowo wybranych zdających tylko jeden uzyskał wynik pozytywny. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem. Przekątna tego prostokąta ma długość 12 i tworzy z bokiem, którego długość jest równa wysokości walca, kąt o mierze $30^{\circ}$.

• [a)] Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca.
• [b)] Sprawdź, czy objętość tego walca jest większa od $18\sqrt{3}$. Odpowiedź uzasadnij.