Matura próbna styczeń 2009: matematyka, poziom podstawowy

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f\left(x\right)=\begin{cases}-x-4&\text{dla } -7\leq x<-3\\-1&\text{dla } -3\leq x<0\\4x-1&\text{dla } 0\leq x\leq2\end{cases}$.

• [a)] Podaj dziedzinę funkcji $f$.
• [b)] Podaj jej miejsca zerowe.
• [c)] Naszkicuj wykres tej funkcji.
• [d)] Podaj zbiór wartości funkcji $f$.

Spośród cyfr $1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6$ losujemy kolejno dwa razy po jednej cyfrze ze zwracaniem. Tworzymy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że pierwsza z wylosowanych cyfr jest cyfrą dziesiątek, a druga cyfrą jedności tej liczby.
Oblicz prawdopodobieństwo utworzenia liczby większej od 52.

Uzasadnij, że dla każdego $\alpha\in\left(0^{\circ},\,90^{\circ}\right)$ prawdą jest, że $\left(1+\sin\alpha\right)\cdot\left(\dfrac{1}{\cos\alpha}-\mathrm{tg}\,\alpha\right)=\cos\alpha$.

Liczba $\dfrac{3}{4}$ jest pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego $\left(b_{n}\right)$, którego iloraz jest równy $\left(-2\right)$. Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego $\left(a_{n}\right)$ jest taki sam jak pierwszy wyraz ciągu $\left(b_{n}\right)$. Suma siedmiu początkowych wyrazów ciągu $\left(a_{n}\right)$ jest równa sumie siedmiu początkowych wyrazów ciągu $\left(b_{n}\right)$.
Oblicz różnicę ciągu arytmetycznego $\left(a_{n}\right)$.

Rozwiąż nierówność $\left(x-2\right)^{2}-4<0$. Podaj wszystkie rozwiązania równania $x^{3}+6x^{2}-4x-24=0$, które należą do zbioru rozwiązań tej nierówności.

Punkty $A=\left(-4,\,-1\right)$, $B=\left(0,\,-5\right)$, $C=\left(2,\,1\right)$ są wierzchołkami trójkąta równoramiennego.
Wyznacz równanie osi symetrii tego trójkąta.

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $4$ cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^{\circ}$.
Oblicz długość krawędzi sześcianu, którego objętość jest równa objętości tego ostrosłupa.

Dziadek założył w banku trzyletnią lokatę pieniężną o stałej rocznej stopie procentowej równej $5\%$ (już po uwzględnieniu podatków i prowizji). Odsetki są kapitalizowane po każdym roku trwania lokaty. Całość środków, otrzymanych z banku po zlikwidowaniu lokaty, dziadek podzielił równo pomiędzy dziewięcioro wnucząt tak, że każde z dzieci otrzymało $1029$ zł.
Oblicz początkową kwotę lokaty.

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ bok $AB$ ma długość $18$ cm, a wysokość $CD$ jest równa $15$ cm. Punkt $D$ dzieli bok $AB$ tak, że $\left|AD\right|:\left|DB\right|=1:2$. Przez punkt $P$ leżący na odcinku $DB$ poprowadzono prostą równoległą do prostej $CD$, odcinając od trójkąta $ABC$ trójkąt, którego pole jest cztery razy mniejsze niż pole trójkąta $ABC$.
Oblicz długość odcinka $PB$.

Doświadczalnie ustalono, że czas $T\left(n\right)$, liczony w sekundach, potrzebny na alfabetyczne ułożenie $n$ kartek z nazwiskami wyraża się, z dobrym przybliżeniem, wzorem $T\left(n\right)=a\cdot n^{2}+b\cdot n$. Ułożenie $10$ kartek trwa średnio $20$ sekund, a $30$ kartek średnio $90$ sekund.
Wyznacz wzór funkcji $T\left(n\right)$ i oblicz, ile kartek można ułożyć średnio w ciągu $50$ sekund.

Na zewnątrz kwadratu $ABCD$ na bokach $AB$ i $BC$ zbudowano trójkąty równoboczne $AEB$ i $BFC$.
Uzasadnij, że trójkąt $DEF$ jest równoboczny.

W pewnej klasie liczba dziewcząt stanowi $60\%$ liczby osób w tej klasie. Gdy $6$ dziewcząt wyjechało na mecz siatkówki, w klasie pozostało tyle samo chłopców, ile dziewcząt.
Oblicz, ile osób liczy ta klasa oraz ilu jest w niej chłopców.