Matura rozszerzona sierpień 2010 (termin poprawkowy): matematyka

Wyznacz wszystkie rozwiązania równania $2\sin^2 x-7\cos x-5=0$ należące do przedziału $\langle 0,\, 2\pi\rangle$.

Rozwiąż nierówność $|2x+2|+|x-2|>5$.

Dane są punkty $A=(1,5)$, $B=(9,3)$ i prosta $k$ o równaniu $y=x+1$. Oblicz współrzędne punktu $C$ leżącego na prostej $k$, dla którego suma $|AC|^2+|BC|^2$ jest najmniejsza.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2-(m-4)x+m^2-4m=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, których suma jest mniejsza od $2m^3-3$.

Narysuj wykres funkcji $f$ określonej wzorem $f(x)=x^2-4|x|$ i na jego podstawie wyznacz liczbę rozwiązań równania $f(x)=m$ w zależności od wartości parametru $m$.

Wykaż, że nierówność $\sqrt[4]{\dfrac{a^4+b^4}{2}}\ge\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$ jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste $a$ i $b$.

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa $12\sqrt{3}$, a pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe 36. Oblicz sinus kąta, jaki tworzy przekątna ściany bocznej z sąsiednią ścianą boczną.

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Odcinek $CD$ jest zawarty w dwusiecznej kąta $ACB$ trójkąta $ABC$. Kąty trójkąta $ABC$ mają miary: $|\sphericalangle CAB|=42^{\circ}$, $|\sphericalangle ABC|=78^{\circ}$. Styczna do okręgu opisanego na tym trójkącie w punkcie $C$ przecina prostą $AB$ w punkcie $E$ (zobacz rysunek). Oblicz, ile stopni ma każdy z kątów trójkąta $CDE$.

Liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ustawiamy losowo w szeregu. Oblicz prawdopodobieństwo, że w tym ustawieniu suma każdych dwóch sąsiednich liczb będzie nieparzystą. Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.

Punkt $A=(2,-3)$ jest wierzchołkiem rombu $ABCD$ o polu równym 300. Punkt $S=(3,4)$ jest środkiem symetrii tego rombu. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu.

Ciąg $(a,b,c)$ jest geometryczny i $a+b+c=26$, zaś ciąg $(a-5,\, b-4,\, c-11)$ jest arytmetyczny. Oblicz $a$, $b$, $c$.