Matura maj 2018: matematyka, poziom podstawowy

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $2\log_{3}6-\log_{3}4$ jest równa

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $\sqrt[3]{\dfrac{7}{3}}\cdot\sqrt[3]{\dfrac{81}{56}}$ jest równa

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Cena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed obniżką ten rower kosztował

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $\dfrac{1-2x}{2}>\dfrac{1}{3}$ jest przedział

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem $f(x)=-\left(x+3\right)\left(x-5\right)$. Liczby $x_{1}$, $x_{2}$ są różnymi miejscami zerowymi funkcji $f$. Zatem

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wykresem funkcji kwadratowej $f(x)=x^{2}-6x-3$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej $f(x)=ax+b$, a punkt $M=(3,\,-2)$ należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik $a$ we wzorze tej funkcji jest równy

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dany jest ciąg $(a_{n})$ określony wzorem $a_{n}=\dfrac{5-2n}{6}$ dla $n\geq1$. Ciąg ten jest
A. arytmetyczny i jego różnica jest równa $r=-\dfrac{1}{3}$.
B. arytmetyczny i jego różnica jest równa $r=-2$.
C. geometryczny i jego iloraz jest równy $q=-\dfrac{1}{3}$.
D. geometryczny i jego iloraz jest równy $q=\dfrac{5}{6}$.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ określonego dla $n\geq1$, jest spełniony warunek $a_{4}+a_{5}+a_{6}=12$. Wtedy

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dany jest ciąg geometryczny $(a_{n})$ określony dla $n\geq1$, w którym $a_{1}=\sqrt{2}$, $a_{2}=2\sqrt{2}$, $a_{3}=4\sqrt{2}$. Wzór na $n$-ty wyraz tego ciągu ma postać

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Przyprostokątna $LM$ trójkąta prostokątnego $KLM$ ma długość 3, a przeciwprostokątna $KL$ ma długość 8 (zobacz rysunek).
Wtedy miara $\alpha$ kąta ostrego $LKM$ tego trójkąta spełnia warunek

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dany jest trójkąt o bokach długości: $2\sqrt{5}$, $3\sqrt{5}$, $4\sqrt{5}$. Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dany jest trapez prostokątny $KLMN$, którego podstawy mają długości $|KL|=a$, $|MN|=b$, $a>b$. Kąt $KLM$ ma miarę $60^{\circ}$.
Długość ramienia $LM$ tego trapezu jest równa

Punkt $K=(2,\,2)$ jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego $KLM$, w którym $|KM|=|LM|$. Odcinek $MN$ jest wysokością trójkąta i $N=(4,\,3)$. Zatem

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat $KLMN$ o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź $NS$, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek).

Kąt $\alpha$, jaki tworzą krawędzie $KS$ i $MS$, spełnia warunek

A. $\alpha=45^{\circ}$B. $45^{\circ}<\alpha<60^{\circ}$
C. $\alpha>60^{\circ}$D. $\alpha=60^{\circ}$.

Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt $\alpha$, jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy $45^{\circ}$ (zobacz rysunek).

Wysokość graniastosłupa jest równa

A. $5$B. $3\sqrt{2}$
C. $5\sqrt{2}$D. $\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2018 i podzielnych przez 5?

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$, $b$ prawdziwa jest nierówność $$\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\ge\frac{2}{a+b}$$

Okręgi o środkach odpowiednio $A$ i $B$ są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku $A$ jest równy 2.

Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $f\left(x\right)=a^{x}$ (gdzie $a>0$ i $a\neq1$), należy punkt $P=\left(2,\,9\right)$.
Oblicz $a$ i zapisz zbiór wartości funkcji $g$, określonej wzorem $g\left(x\right)=f\left(x\right)-2$.

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego $(a_{n})$, określonego dla $n\geq1$, jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162.
Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Dane są dwa zbiory:
$A=\{100,\,200,\,300,\,400,\,500,\,600,\,700\}$ i $B=\{10,\,11,\,12,\,13,\,14,\,15,\,16\}$.
Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3. Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.