Matura maj 2019: matematyka, poziom podstawowy

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $\log_{\sqrt{2}}2$ jest równa

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Para liczb $x=2$ i $y=2$ jest rozwiązaniem układu równań $\begin{cases}ax+y=4\\ -2x+3y=2a\end{cases}$ dla

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miejscem zerowym funkcji liniowej $f$ określonej wzorem $f(x)=3\left(x+1\right)-6\sqrt{3}$ jest liczba

Informacja do zadania
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W=(2,\,-4)$. Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji $f$.

Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział

Informacja do zadania
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W=(2,\,-4)$. Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji $f$.

Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Największa wartość funkcji $f$ w przedziale $\langle1,\,4\rangle$ jest równa

Informacja do zadania
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W=(2,\,-4)$. Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji $f$.

Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta o równaniu

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W ciągu geometrycznym $(a_{n})$, określonym dla $n\geq1$, wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek $\dfrac{a_{5}}{a_{3}}=\dfrac{1}{9}$. Iloraz tego ciągu jest równy

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Sinus kąta ostrego $\alpha$ jest równy $\dfrac{4}{5}$. Wtedy

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Punkty $D$ i $E$ leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym $ABC$ (zobacz rysunek). Odcinek $CD$ jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany $DEB$ ma miarę $\alpha$.
Zatem

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie $O$ i promieniu 5 oraz okrąg o środku w punkcie $P$ i promieniu 3. Odcinek $OP$ ma długość 16. Prosta $AB$ jest styczna do tych okręgów w punktach $A$ i $B$. Ponadto prosta $AB$ przecina odcinek $OP$ w punkcie $K$ (zobacz rysunek).
Wtedy

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym $150^{\circ}$. Pole tego rombu jest równe

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Proste o równaniach $y=\left(2m+2\right)x-2019$ oraz $y=\left(3m-3\right)x+2019$ są równoległe, gdy

Dane są punkty o współrzędnych $A=(-2,\,5)$ oraz $B=(4,\,-1)$. Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku $AB$ jest równa

Promień kuli i promień podstawy stożka są równe 4. Pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa

Mediana zestawu sześciu danych liczb: 4, 8, 21, $a$, 16, 25, jest równa 14. Zatem

Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest

Rozwiąż równanie $\left(x^{3}-8\right)\left(x^{2}-4x-5\right)=0$.

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $$3a^2-2ab+3b^2\ge0$$

Dany jest okrąg o środku w punkcie $S$ i promieniu $r$. Na przedłużeniu cięciwy $AB$ poza punkt $B$ odłożono odcinek $BC$ równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty $C$ i $S$ poprowadzono prostą. Prosta $CS$ przecina dany okrąg w punktach $D$ i $E$ (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta $ACS$ jest równa $\alpha$, to miara kąta $ASD$ jest równa $3\alpha$.

Ze zbioru liczb $\{1,\,2,\,3,\,4,\,5\}$ losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.

Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$. Różnicą tego ciągu jest liczba $r=-4$, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$, $a_{5}$, $a_{6}$ jest równa 16.
a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
b) Oblicz liczbę $k$, dla której $a_{k}=-78$.