Matura czerwiec 2019 (termin dodatkowy): matematyka, poziom podstawowy

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $\dfrac{\log_{3}27}{\log_{3}\sqrt{27}}$ jest równa

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Jedną z liczb spełniających nierówność $\left(x-6\right)\cdot\left(x-2\right)^{2}\cdot\left(x+4\right)\cdot\left(x+10\right)>0$ jest

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba dodatnia $a$ jest zapisana w postaci ułamka zwykłego. Jeżeli licznik tego ułamka zmniejszymy o 50%, a jego mianownik zwiększymy o 50%, to otrzymamy liczbę $b$ taką, że

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Układ równań $\begin{cases}2x-y=2\\ x+my=1\end{cases}$ ma nieskończenie wiele rozwiązań dla

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rysunek przedstawia wykres funkcji $f$ zbudowany z 6 odcinków, przy czym punkty $B=\left(2,\,-1\right)$ i $C=\left(4,\,-1\right)$ należą do wykresu funkcji.
Równanie $f\left(x\right)=-1$ ma
A. dokładnie jedno rozwiązanie.
B. dokładnie dwa rozwiązania.
C. dokładnie trzy rozwiązania.
D. nieskończenie wiele rozwiązań.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny $(a_{n})$, określony dla liczb naturalnych $n\geq1$, o wyrazach dodatnich. Jeśli $a_{2}+a_{9}=a_{4}+a_{k}$, to $k$ jest równe

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W ciągu $(a_{n})$ określonym dla każdej liczby $n\geq1$ jest spełniony warunek $a_{n+3}=-2\cdot3^{n+1}$. Wtedy

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Kąt $\alpha\in\left(0^{\circ},\,180^{\circ}\right)$ oraz wiadomo, że $\sin\alpha\cdot\cos\alpha=-\dfrac{3}{8}$.
Wartość wyrażenia $\left(\cos\alpha-\sin\alpha\right)^{2}+2$ jest równa

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość wyrażenia $2\sin^{2}18^{\circ}+\sin^{2}72^{\circ}+\cos^{2}18^{\circ}$ jest równa

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Punkty $B$, $C$ i $D$ leżą na okręgu o środku $S$ i promieniu $r$. Punkt $A$ jest punktem wspólnym prostych $BC$ i $SD$, a odcinki $AB$ i $SC$ są równej długości. Miara kąta $BCS$ jest równa $34^{\circ}$ (zobacz rysunek).
Wtedy

Pole trójkąta $ABC$ o wierzchołkach $A=(0,\,0)$, $B=(4,\,2)$, $C=(2,\,6)$ jest równe.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Na okręgu o środku w punkcie $O$ wybrano trzy punkty $A$, $B$, $C$ tak, że $|\angle AOB|=70^{\circ}$, $|\angle OAC|=25^{\circ}$. Cięciwa $AC$ przecina promień $OB$ (zobacz rysunek). Wtedy miara $\angle OBC$ jest równa

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie dany jest odcinek $AB$ o końcach w punktach $A=(7,\,4)$ i $B=(11,\,12)$. Punkt $S$ leży wewnątrz odcinka $AB$ oraz $|AS|=3\cdot|BS|$. Wówczas

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 96 cm. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Kąt między ramionami tego trójkąta ma miarę $44^{\circ}$. Dwusieczna kąta poprowadzona z wierzchołka $A$ przecina bok $BC$ tego trójkąta w punkcie $D$. Kąt $ADC$ ma miarę

Liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6 jest

Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o przekątnej długości 12. Objętość tego walca jest zatem równa

Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych $\{20,\,21,\,22,\,\ldots,\,39,\,40\}$ losujemy jedną liczbę.
Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 4 jest równe

Rozwiąż nierówność $x\left(7x+2\right)>7x+2$.

Dany jest trójkąt $ABC$. Punkt $S$ jest środkiem boku $AB$ tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów $A$ i $B$ od prostej $CS$ są równe.

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Wykaż, że dla każdej liczby $a>0$ i dla każdej liczby $b>0$ prawdziwa jest nierówność $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}$$

W ciągu geometrycznym przez $S_{n}$ oznaczamy sumę $n$ początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych $n\geq1$. Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego: $S_{1}=2$, $S_{2}=12$.
Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.