Matura sierpień 2022 (termin poprawkowy): matematyka, poziom podstawowy

Liczba $\dfrac{8^{-40}}{2^{10}}$ jest równa

Liczba $\log_{2}32-\log_{2}8$ jest równa

Liczba $\left(5-2\sqrt{3}\right)^{2}$ jest równa

Cenę $x$ (w złotych) pewnego towaru obniżono najpierw o $30\%$, a następnie obniżono o $20\%$ w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie. Po obydwu tych obniżkach cena towaru jest równa

Jednym z rozwiązań równania $5\left(x+1\right)-x^{2}\left(x+1\right)=0$ jest liczba

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $\dfrac{8x-3}{4}>6x$ jest przedział

Suma wszystkich rozwiązań równania $\left(2x-1\right)\left(2x-2\right)\left(x+2\right)=0$ jest równa

Punkt $A=\left(1,\,2\right)$ należy do wykresu funkcji $f$, określonej wzorem $f\left(x\right)=\left(m^{2}-3\right)x^{3}-m^{2}+m+1$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wtedy

Funkcja liniowa $f$ określona wzorem $f\left(x\right)=\left(2m-5\right)x+22$ jest rosnąca dla

Funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f\left(x\right)=x^{2}+bx+c$ osiąga dla $x=2$ wartość najmniejszą równą $4$. Wtedy

Dana jest funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f\left(x\right)=-2\left(x-2\right)\left(x+1\right)$. Funkcja $f$ jest rosnąca w zbiorze

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ określonej na zbiorze $\left\langle-2,\,5\right)$.

Dane są ciągi $a_{n}=3n$ oraz $b_{n}=4n-2$, określone dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$. Liczba $10$
A. jest wyrazem ciągu $\left(a_{n}\right)$ i jest wyrazem ciągu $\left(b_{n}\right)$.
B. jest wyrazem ciągu $\left(a_{n}\right)$ i nie jest wyrazem ciągu $\left(b_{n}\right)$.
C. nie jest wyrazem ciągu $\left(a_{n}\right)$ i jest wyrazem ciągu $\left(b_{n}\right)$.
D. nie jest wyrazem ciągu $\left(a_{n}\right)$ i nie jest wyrazem ciągu $\left(b_{n}\right)$.

Dany jest ciąg geometryczny $\left(a_{n}\right)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$. Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu $\left(a_{n}\right)$ są równe $2$. Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

W ciągu dwóch godzin trzy jednakowe maszyny produkują razem $1200$ guzików. Ile guzików wyprodukuje pięć takich maszyn w ciągu jednej godziny? Przyjmij, że maszyny pracują z taką samą, stałą wydajnością.

Przyprostokątna $AC$ trójkąta prostokątnego $ABC$ ma długość $6$, a przeciwprostokątna $AB$ ma długość $3\sqrt{5}$. Wtedy tangens kąta ostrego $CAB$ tego trójkąta jest równy

Nie istnieje kąt ostry $\alpha$ taki, że
A. $\sin\alpha=\dfrac{1}{3}$ i $\cos\alpha=\dfrac{2}{3}$ B. $\sin\alpha=\dfrac{5}{13}$ i $\cos\alpha=\dfrac{12}{13}$
C. $\sin\alpha=\dfrac{3}{5}$ i $\cos\alpha=\dfrac{4}{5}$ D. $\sin\alpha=\dfrac{9}{15}$ i $\cos\alpha=\dfrac{12}{15}$

Pole prostokąta jest równe $16$, a przekątne tego prostokąta przecinają się pod kątem ostrym $\alpha$, takim, że $\sin\alpha=0{,}2$. Długość przekątnej tego prostokąta jest równa

Proste o równaniach $y=\dfrac{2}{3}x-3$ oraz $y=\left(2m-1\right)x+1$ są prostopadłe, gdy

Punkty $A=\left(1,\,-3\right)$ oraz $C=\left(-2,\,4\right)$ są końcami przekątnej $AC$ rombu $ABCD$. Środek przekątnej $BD$ tego rombu ma współrzędne

Punkty $A=\left(-6,\,5\right)$, $B=\left(5,\,7\right)$, $C=\left(10,\,-3\right)$ są wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Długość przekątnej $BD$ tego równoległoboku jest równa

Obrazem prostej o równaniu $y=2x+5$ w symetrii osiowej względem osi $Ox$ jest prosta o równaniu

W graniastosłupie prawidłowym stosunek liczby wszystkich krawędzi do liczby wszystkich ścian jest równy $7:3$. Podstawą tego graniastosłupa jest

Średnia arytmetyczna zestawu liczb $a$, $b$, $c$, $d$ jest równa $20$. Wtedy średnia arytmetyczna zestawu liczb $a-10$, $b+30$, $c$, $d$ jest równa

Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od $300$ o wszystkich cyfrach parzystych jest

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek -- od jednego do sześciu. Niech $p$ oznacza prawdopodobieństwo otrzymania w drugim rzucie liczby oczek podzielnej przez $3$. Wtedy

Rozwiąż nierówność $$3x^{2}-8x\geq3$$

Trójwyrazowy ciąg $\left(x,\,y-4,\,y\right)$ jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $6$. Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ różnej od $0$ i każdej liczby rzeczywistej $b$ różnej od $0$ spełniona jest nierówność $$2a^{2}-4ab+5b^{2}>0$$

Rozwiąż równanie $$\frac{4}{x+2}=x-1$$

Ze zbioru pięciu liczb $\left\{-5,\,-4,\,1,\,2,\,3\right\}$ losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie $A$ polega na wylosowaniu dwóch liczb, których iloczyn jest ujemny.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$.