Matura maj 2016: matematyka, poziom podstawowy

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej dodatniej liczby $a$ iloraz $\dfrac{a^{-2{,}6}}{a^{1{,}3}}$ jest równy

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $\log_{\sqrt{2}}2\sqrt{2}$ jest równa

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równość $\left(2\sqrt{2}-a\right)^{2}=17-12\sqrt{2}$ jest prawdziwa dla

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Proste o równaniach $2x-3y=4$ i $5x-6y=7$ przecinają się w punkcie $P$. Stąd wynika, że

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Punkty $A$, $B$, $C$, $D$ leżą na okręgu o środku $S$ (zobacz rysunek).
Miara kąta $BDC$ jest równa

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie wymierne $\dfrac{3x-1}{x+5}=3$, gdzie $x\neq-5$,
A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.

Informacja do zadania
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W=(1,\,9)$. Liczby $-2$ i 4 to miejsca zerowe funkcji $f$.

Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział

Informacja do zadania
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W=(1,\,9)$. Liczby $-2$ i 4 to miejsca zerowe funkcji $f$.

Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Najmniejsza wartość funkcji $f$ w przedziale $\langle-1,\,2\rangle$ jest równa

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W okręgu o środku w punkcie $S$ poprowadzono cięciwę $AB$, która utworzyła z promieniem $AS$ kąt o mierze $31^{\circ}$ (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu $S$ od cięciwy $AB$ jest liczbą z przedziału

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa $\left(-\dfrac{3}{2}\right)$. Siódmy wyraz tego ciągu jest równy

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Przedstawione na rysunku trójkąty $ABC$ i $PQR$ są podobne.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Kąt $\alpha$ jest ostry i $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{2}{3}$. Wtedy

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Z odcinków o długościach: 5, $2a+1$, $a-1$ można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie $P$ przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).
Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności $P$, jest równe

W układzie współrzędnych dane są punkty $A=(a,\,6)$ oraz $B=(7,\,b)$. Środkiem odcinka $AB$ jest punkt $M=(3,\,4)$. Wynika stąd, że

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech $p$ oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy

Kąt rozwarcia stożka ma miarę $120^{\circ}$, a tworząca tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).

Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt $\alpha$ o mierze

Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: 31, 16, 25, 29, 27, $x$, jest równa $\dfrac{x}{2}$. Mediana tych liczb jest równa

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat.

Rozwiąż nierówność $2x^{2}-4x>3x^{2}-6x$.

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$. Na przyprostokątnych $AC$ i $AB$ tego trójkąta obrano odpowiednio punkty $D$ i $G$. Na przeciwprostokątnej $BC$ wyznaczono punkty $E$ i $F$ takie, że $|\sphericalangle DEC|=|\sphericalangle BGF|=90^{\circ}$ (zobacz rysunek).

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=2n^2+2n$ dla $n\geq1$. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o $50^{\circ}$.
Oblicz kąty tego trójkąta.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego $ABCS$ jest trójkąt równoboczny $ABC$. Wysokość $SO$ tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27.

Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa $ABCS$ oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa 30. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.