Matura sierpień 2017 (termin poprawkowy): matematyka, poziom podstawowy

{ Rozważmy treść następującego zadania:
Obwód prostokąta o bokach długości $a$ i $b$ jest równy 60. Jeden z boków tego prostokąta jest o 10 dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta.
Który układ równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
A. $\begin{cases}2\left(a+b\right)=60\\ a+10=b\end{cases}$ B. $\begin{cases}2a+b=60\\ 10b=a\end{cases}$
C. $\begin{cases}2ab=60\\ a-b=10\end{cases}$ D. $\begin{cases}2\left(a+b\right)=60\\ 10a=b\end{cases}$ }

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest nierówność $4x+\dfrac{1}{x}\ge4$.

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|\sphericalangle ACB|=90^{\circ}$ i $|\sphericalangle ABC|=60^{\circ}$. Niech $D$ oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka $C$ kąta prostego i przeciwprostokątnej $AB$ tego trójkąta. Wykaż, że $|AD|:|BD|=3:1$.

Ze zbioru liczb $\{1,\,2,\,4,\,5,\,10\}$ losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez drugą wylosowaną liczbę jest liczbą całkowitą.

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_{n})$, określony dla $n\geq1$, w którym spełniona jest równość $a_{21}+a_{24}+a_{27}+a_{30}=100$.
Oblicz sumę $a_{25}+a_{26}$.

Funkcja kwadratowa $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ma dwa miejsca zerowe $x_{1}=-2$ i $x_{2}=6$. Wykres funkcji $f$ przechodzi przez punkt $A=(1,\,-5)$.
Oblicz najmniejszą wartość funkcji $f$.