Matura czerwiec 2014 (termin dodatkowy): matematyka, poziom podstawowy

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Na prostej o równaniu $y=ax+b$ leżą punkty $K=(1,\,0)$, $L=(0,\,1)$. Wynika stąd, że

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Czterech przyjaciół zarejestrowało spółkę. Wysokość udziałów poszczególnych wspólników w kapitale zakładowym spółki wyraża stosunek $12:8:3:2$. Jaką część kapitału zakładowego stanowi udział największego inwestora?

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dane są liczby: $a=\log_{3}\dfrac{1}{9}$, $b=\log_{3}3$, $c=\log_{3}\dfrac{1}{27}$. Który z poniższych warunków jest prawdziwy?

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=3x-4$ dla każdej liczby z przedziału $\langle-2,\,2\rangle$. Zbiorem wartości tej funkcji jest przedział

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $\dfrac{3^{27}+3^{26}}{3^{26}+3^{25}}$ jest równa

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dane są wielomiany $W\left(x\right)=2x^{2}-1$, $P\left(x\right)=x^{3}+x$ i $Q\left(x\right)=\left(1-x\right)\left(x+1\right)$. Stopień wielomianu $W\left(x\right)\cdot P\left(x\right)\cdot Q\left(x\right)$ jest równy

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli o równaniu $y=\left(x+2\right)\left(x-4\right)$ jest równa

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W ciągu geometrycznym $(a_{n})$ określonym dla $n\geq1$ dane są $a_{1}=5$, natomiast iloraz $q=-2$. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta $\alpha$ spełnia warunek: $0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}$. Wyrażenie $\dfrac{\cos^{2}\alpha}{1-\sin^{2}\alpha}+\dfrac{1-\cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha}$ jest równe

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W trapezie $KLMN$, w którym $KL\parallel MN$, kąt $LKN$ jest prosty (zobacz rysunek) oraz dane są: $|MN|=3$, $|KN|=4\sqrt{3}$, $|\angle KLM|=60^{\circ}$.
Pole tego trapezu jest równe

Średnia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych na egzaminie przez studentów I grupy, liczącej 40 studentów, jest równa 30. Dwudziestu studentów tworzących II grupę otrzymało w sumie 1800 punktów. Zatem średni wynik z tego egzaminu, liczony łącznie dla wszystkich studentów z obu grup, jest równy

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Punkt $O$ jest środkiem okręgu (zobacz rysunek).
Miara kąta $LKM$ jest równa

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Na trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości 12 i 9, opisano okrąg. Promień tego okręgu jest równy

Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych $\{1,\,2,\,3,\,4,\,\ldots,\,30\}$ losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest kwadratem liczby całkowitej, jest równe

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W trójkącie $EFG$ bok $EF$ ma długość 21. Prosta równoległa do boku $EF$ przecina boki $EG$ i $FG$ trójkąta odpowiednio w punktach $H$ oraz $I$ (zobacz rysunek) w taki sposób, że $|HI|=7$ i $|GI|=3$.
Wtedy długość odcinka $FI$ jest równa

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Na planie miasta, narysowanym w skali $1:20\,000$, park jest prostokątem o bokach 2 cm i 5 cm. Stąd wynika, że ten park ma powierzchnię

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Proste o równaniach: $y=mx-5$ oraz $y=\left(1-2m\right)x+7$ są równoległe, gdy

Punkty $M=(2,\,0)$ i $N=(0,\,-2)$ są punktami styczności okręgu z osiami układu współrzędnych. Które z poniższych równań opisuje ten okrąg?

Objętość walca o promieniu podstawy 4 jest równa $96\pi$. Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 432, a krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość 12. Wysokość tego ostrosłupa jest równa

Rozwiąż nierówność $\left(2x-3\right)\left(3-x\right)\geq0$.

* Zadanie spoza obecnej podstawy programowej (formuła 2023) – potraktuj jako dodatkowe.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ i każdej liczby rzeczywistej $b$ prawdziwa jest nierówność $$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le\frac{a^2+b^2}{2}$$

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Oblicz wartość wyrażenia $\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\dfrac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha}$.

Liczby: 6, $2x+4$, $x+26$, w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego.
Oblicz różnicę $r$ tego ciągu.

Dane są dwa podzbiory zbioru liczb całkowitych: $K=\{-4,\,-1,\,1,\,5,\,6\}$ i $L=\{-3,\,-2,\,2,\,3,\,4\}$. Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest dodatni.

Dany jest trójkąt $ABC$. Odcinek $CD$ jest wysokością tego trójkąta, punkt $E$ jest środkiem boku $BC$ (tak jak na rysunku) i $|CD|=|DE|$.

Podstawą trójkąta równoramiennego $ABC$ jest bok $AB$, gdzie $A=(2,\,1)$ i $B=(5,\,2)$. Ramię tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu $2x-y-3=0$. Oblicz współrzędne wierzchołka $C$.